本文由铜陵市工业学校的苏文忠老师供稿

我们经常会看到镂空装饰球体的模型，在用三维软件建模时，曲面模型的控制不太容易，往往会使球表面图案变形，出现中间正常，两端变小等现象。如何使球表面图案的大小等大呢？根据欧拉定律,简单正多面体只有五种: 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，今天我们以这五个正多面体分别来探讨下其中的规律。

先看效果图（图案可以自己任意编排）

我们知道正立面体的各角点正好外接球体，并且正多面体各个面全等，看下图

通过上面正立面体与球体的图示，我们只要知道正立面体棱长与球体半径的关系后，在正立面体各个面上绘制相应图案后，利用3DOne软件的投影曲线和曲面分割命令，将各个面上绘制的图案投影到球体上，将不需要的面删除，最后再利用抽壳命令即可生成立体等大图案的模型。

因为正立面体和球体都是我们必须要的，正立面体的各个面便于我们绘制图案，而球体是作为投影曲线用的，问题的重点是棱长已知，球体的半径如何求？我们可以运用数学的知识的求解，但是在3DOne软件中，这个问题很好解决，看下面所作辅助线。

正四面体，蓝线与黄线交点为球心，蓝线上半部分为半径，红线为棱长

正六面体，绿线为球体直径

  正八面体，黄线为球体直径

一、以正四面体为例看如何制作等大图案的球体镂空效果：

1.看上图正四面体的辅助线，在3DOne中绘图，先绘制边长为100（此为红线棱长长度）的正三角形，作出高线，高线即为上图中绿线的长度（利用3DOne距离测量工具测得长度为86.60254，如下图：

2.在旁边继续画一水平线长度为86.60254，以直线两端点分别画半径100和半径86.60254两个圆，如图

3.连接线段，并作出两条高线，删除两辅助圆，如图

4.分别测得垂直高线的两段长为61.2372（此为球半径）和20.41241

5.删除所有辅助线（为避免干拢后期作图），画100长直线，分别以两端点画半径为100的圆，连接线段，如图

6.作两高线，删除辅助圆，将草图两高线交点处移至（0，0）点，如图

7.沿辅助线再描一边长100的三角形并下移20.41241，如图

8.水平画一长61.11056长的线段，旋转90度，移动使下端点位于（0，0）处，如图

9.沿辅助图形中一高线画一直线（可画长点以便于选择）并向上拉伸一平面，如图

10.以此面为基准面画直线连接两线段端点，如图：

11.删除辅助线和面，环形阵列刚画的线，方向（0，0，1）数量3个，如图

12.分别执行放样命令（注意连续方式选择无，如连续方式为灰色不可选则默认）四次即可求得正四面体形状，且重心位于（0，0），（若底面不能放样，则将底部三角形草图删除，以边形式放样即可）如图：

13.分别以两个面为基准面绘制图案，此例以画一弧为例说明，如图

环形阵列，中心点(0,0,1)，数量3个，如图

14.删除四个辅助面，并以（0，0）为球心作半径61.2372的球，将渲染模式设为线框模式（或者按CTRL+F）,如图

15.使用投影曲线命令将草图投影 球表面，并使用曲面分割命令对球表面进行分割，如图

16.删除不需要的面，使用抽壳命令给模型增加厚度，如图

观察一下，是不是每个形状都是一样大呢。

同理，正立面体做法如下：

1.以（0，0）画长宽高分另为100的正方体，使用距离测量工具测得正方体两对角点距离为173.2051,此为球体直径长度，如图

2.分别在六个面上绘制图案如图

3.删除六面体，以（0，50）为球心作半径为86.60255为球体，后面的步骤同正四面体，最终效果如图

正八面体做法如下

1.画边长100的正方形，并将中心移至（0，0）退出草图模式，如图

2.连接对角线(对角线一半长度70.71068即为球半径)，删除正方形，向上拉伸对角线高度100，并以此拉伸面为基准面分别在刚才对角线两端点画半径100的圆，如图

3.连接线段并删除辅助圆，退出草图模式，删除基准面，如图

4.环形阵列，方向(0,0,1),数量4个，如图

5.  再次环形阵型列，方向（1，0，0），数量2个，如图

6.放样，后面步骤同正四面体，最终效果如下：

正十二面体的做法复杂些（其中涉及数学知识我们不深入讨论了）

1.先以（0，0）为圆心画正五边形，半径为50，再画另外两个半径50的五边形，旋转36度并移动至合适位置，如图

2.分别以两个五边形角点向另一五边形的边作垂线，如图

3.测得垂线长度55.9017，修剪，如图

4.  拉伸所绘线高度100，以此拉伸面为基准面，以垂足点为圆心画半径55.9017的圆，以交点为起点向上画一直线，如图

5.修剪线段冒头部分，删除圆和拉伸面，如图

6.在平面上画一线段，如图

7.放样，并以此放样面为基准面画一斜线（红线位置），测得斜线长度58.77853，此为五边形边长的长度，如图

8.删除基准面，环形阵列斜线2个，角度为-72度，方向（0，0，1）如图

9.放样两根线作为基准面，以此基准面上两个端点画两个半径为58.77853的圆，如图

10.连五条线构成五边形，删除辅助圆和基准面，如图

11.分别将两五边形向上向内拉伸若干，然后删除多余面，如图

12.将斜平面环形阵型列五个，方向（0，0，1）角度360，如图

13.再次将六个物体环形阵列，方向（1，0，0），数量2个，如图

14.将阵列的六个上移，然后旋转36度，再移至合适位置即可构成正十二面体，如图

15.接下来我们找球心及球半径，按CTRL+F转线框模式，在最下方的五边形内画一条线，如图

16.将此线向上拉伸高于整个多面体，并以此拉伸面作为基准面画线连接图上左右两个顶点，此线即为球体直径长度，测得直径一半长度为82.36391，中心即为球心，如图

17.选择所有物体，移动，以直线中心为起始点，目标点为（0，0），删除直线和辅助面，如图

18.其他步骤同上，效果如下

最后我们来看正二十面体是如何制作出来的

1.以（0，0）为圆心画半径50的正五边形，距离测量边长为58.77853，作辅助线，如图

2.先隐藏五边形，向上拉伸直线，以拉伸的面为基准面画半径为58.77853的圆和从（0，0）点向上画一直线，如图

3.修剪直线，并删除圆，如图

4.将隐藏物体显示，放样，放样类型为起点到轮廓，连续方式为无，如图

5.删除底部平面，再以刚拉伸面为基准面，作辅助线，如图

6.将斜线绕自身中心旋转90度，并使用修剪、延伸曲线命令，然后再利用修剪命令修剪多余线段，如图

7.删除斜线，垂线即为球的半径，测得长度为55.90119，将拉伸面绕X轴旋转90度，并移至垂线下端点对齐，将五面体以拉伸面为镜像平面镜像到下面，如图

8.将上面五面体绕Z轴旋转36度，并移动它使顶点与垂线顶点对齐，选择所有物体，移动使垂线下端点作为起始点，目标点为（0，0），删除拉伸面，如图

9.拉伸垂线，方向(1,0,0),如图

10.以此拉伸面为基准面，作辅助线，删除辅助面，如图

11.  拉伸辅助线，方向为上五面体的边，如图

12.以此拉伸面为基准面分两次画两线段，如图

13.将拉伸面环形阵列，方向（0，0，1），数量2个，角度-72度，并以此拉伸面为基准面画一条线段，如图

14.删除两基准面，分别放样出两个平面，注意放样连续方式为无或默认不可选，如出现面反向（粉红色表示）不影响，如图

15.环形阵列两个放样面，方向（0，0，1）数量5个，角度360，如图

16.  其他步骤同上，效果如下

无论是利用正四面体还是正十二面体制作等大图案的球形镂空，原理都是一样的。在建模过程中，动用数学的思维除了能够帮助理解，还能起到事半功倍的效果。

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